Comportamento Ultravioletto di un Campo Scalare Reale Quantistico con Condizioni al Contorno di Robin

This thesis develops a framework to study quantum fields on Lorentzian manifolds with timelike boundaries, taking half-Minkowski spacetime as the prime example. After introducing the geometric and analytic preliminaries, the concepts of fundamental solution, and Hadamard states are analysed, which play a key role in the definition of renormalised observables. The main contribution is the explicit construction of advanced and retarded fundamental kernels for the Klein–Gordon operator with Robin boundary conditions. A Robin-to-Dirichlet map and its distributional counterpart are introduced. These allow us to express Robin fundamental kernels in terms of Dirichlet and Neumann ones. Using this approach, explicit solutions for the massless Klein–Gordon operator in two- and four-dimensional half-Minkowski spacetime are obtained. Finally, an ansatz on the local form of the Robin Hadamard parametrix is proposed, and the corresponding recursion relations are established, demonstrating as a consistency check that the exact Robin fundamental kernels of massless Klein–Gordon operator in two dimensions satisfy such relations.

In questa tesi si studiano i campi quantistici su varietà lorentziane con bordo di tipo tempo, prendendo come modello principale mezzo Minkowski. Dopo aver introdotto i preliminari geometrici e analitici necessari, si analizzano i concetti di soluzione fondamentale e stati di Hadamard, che ricoprono un ruolo centrale nella definizione delle osservabili rinormalizzate. Il contributo principale di questo lavoro consiste nella costruzione esplicita delle soluzioni fondamentali avanzata e ritardata per l’operatore di Klein–Gordon con condizioni al contorno di Robin. Si introduce la mappa Robin-to-Dirichlet e si considera la sua controparte distribuzionale, che permette di esprimere le soluzioni fondamentali con condizioni di Robin in termini di quelle con condizioni di Dirichlet e Neumann. Grazie a questo metodo, si ottengono soluzioni esplicite per l’operatore di Klein–Gordon non massivo in mezzo Minkowski in due e quattro dimensioni. Infine, si propone un ansatz per la parametrice di Hadamard con condizioni al contorno Robin e si stabiliscono le corrispondenti relazioni di ricorsione. Le soluzioni fondamentali Robin esatte dell’operatore di Klein–Gordon non massivo in due dimensioni risultano soddisfare tali relazioni, confermando la coerenza dell’approccio.