Processi di nascita e morte e applicazioni epidemiologiche

In questa tesi vengono analizzate le Catene di Markov a tempo continuo, un modello matematico che consente di descrivere l’evoluzione temporale di sistemi stocastici con stati discreti, a tempo continuo e in assenza di memoria. A differenza dei modelli a tempo discreto, nei quali le transizioni avvengono in istanti prefissati, i processi a tempo continuo ammettono cambiamenti di stato in qualsiasi momento. Questo richiede lo sviluppo di strumenti matematici, come la funzione di transizione, il generatore infinitesimale e le equazioni di Kolmogorov, che permettono di caratterizzare in modo rigoroso la dinamica del processo. La prima parte del lavoro è dedicata alla presentazione delle nozioni fondamentali e alla costruzione teorica delle Catene di Markov a tempo continuo. Si introducono i concetti chiave, tra cui le matrici di transizione, la classificazione degli stati e le misure invarianti, sottolineando il ruolo centrale del generatore infinitesimale descritto dai tassi di transizione. Successivamente, l’attenzione si concentra sui processi di nascita e morte, che costituiscono una classe importante e al tempo stesso trattabile di processi markoviani. Grazie alla loro struttura relativamente semplice, essi consentono lo sviluppo di risultati espliciti e rappresentano un ponte naturale verso le applicazioni. In particolare, viene discusso il legame con la teoria delle code, ambito in cui i processi di nascita e morte forniscono modelli efficaci per l’analisi di sistemi di servizio e reti di comunicazione. Nella parte finale, vengono presentate applicazioni in biologia, con un focus sulla modellizzazione dei processi epidemiologici. I modelli SI, SIS e SIR sono analizzati in chiave stocastica, evidenziando i vantaggi delle Catene di Markov a tempo continuo rispetto ai modelli deterministici. Tali approcci permettono di cogliere aspetti essenziali della dinamica epidemica, come la probabilità di estinzione, la distribuzione dei tempi di epidemia e la variabilità intrinseca delle traiettorie. L’obiettivo complessivo della tesi è fornire un quadro organico e coerente che, partendo dai fondamenti teorici, conduca allo studio di modelli concreti e applicazioni reali. Le Catene di Markov a tempo continuo emergono come un potente strumento matematico, capace di combinare parte formale e rilevanza pratica in numerosi contesti scientifici.