Processi Markoviani nei mercati finanziari: da Cox, Ross e Rubinstein a Black e Scholes

This thesis explores the main mathematical models introduced to describe the behavior of financial markets, all of which are based on Markov processes. The aim is to show the role played by the Markov property and, in particular, its influence on the pricing and hedging of options in the various models analyzed. From the Cox–Ross–Rubinstein binomial model to the continuous Black–Scholes framework, extended to jump-diffusion models, the evolution of the underlying risky asset’s price is driven by a Markov process. This structure leads to the construction of recursive and simulation-based algorithms for computing the fair price of a path-independent option: one whose payoff at exercise depends only on the value of the underlying asset at that time.

Questa tesi indaga i principali modelli matematici introdotti in ambito finanziario per descrivere il comportamento dei mercati, tutti fondati su processi markoviani. L’obiettivo perseguito è mettere in risalto il ruolo giocato dalla proprietà di Markov e, in particolare, l’influenza che questa ha sui problemi della valutazione e della copertura delle opzioni nei vari modelli analizzati. Dal modello binomiale di Cox, Ross e Rubinstein a quello continuo di Black e Scholes, esteso anche ai modelli "jump-diffusion", l’evoluzione dei prezzi del bene rischioso di riferimento è descritta da un processo markoviano. Ciò rende possibile costruire degli algoritmi ricorsivi e di simulazione funzionali al calcolo del prezzo equo di un'opzione "path-indipendent", ovvero il cui payoff al tempo d'esercizio dipende esclusivamente dal valore del bene sottostante nel medesimo istante.