Esplorazione di approcci alternativi al Value at Risk di portafoglio: confronto tra GARCH-Copula e un metodo basato sull’Optimal Transport

Accurate Value at Risk (VaR) estimation constitutes a fundamental challenge both in the academic literature and in financial practice. When the problem is analyzed from a multivariate perspective, the main difficulty lies in appropriately modeling the complex dependence structures among asset returns. This thesis investigates, following an agnostic approach, two alternative methods to address this problem in the context of portfolio multivariate VaR estimation, both relying on GARCH-type models to describe the univariate dynamics of the asset returns. The first approach, parametric in nature, relies on copula functions (GARCH-Copula approach), while the second, representing the innovative contribution of this work, exploits Optimal Transport theory to model dependence non- parametrically, thus yielding the GARCH-OT approach. The performance of GARCH-Copula models is assessed using six common static copulas (Gaussian, t, Frank, Gumbel, Clayton, and Joe) and compared against three GARCH-OT specifications, optimally calibrated via a novel validation procedure developed in this study. The analysis employs a rolling window framework, estimating VaR at the 95% and 99% confidence levels for an equally weighted portfolio composed of four European stock indices, and the performances are evaluated using the Kupiec test, the Christoffersen test and the Lopez loss function. The results demonstrate strong VaR forecasting accuracy for both approaches across the backtesting period. In the GARCH-Copula context, models based on elliptical copulas outperform Archimedean ones, with the exception of the Clayton copula, whose performance is comparable to that of elliptical models. The GARCH-OT represents a promising alternative, as it yields comparable results at the 99% level and only modest risk underestimation at the 95% level relative to the GARCH-Copula, thereby highlighting its potential despite the higher computational cost and the need for accurate calibration.

La stima accurata del Value at Risk (VaR) costituisce una sfida fondamentale sia nella letteratura accademica che nella pratica finanziaria. Quando il problema viene analizzato da una prospettiva multivariata, la principale difficoltà risiede nella modellazione appropriata delle complesse strutture di dipendenza tra i rendimenti degli asset. Questa tesi investiga, seguendo un approccio agnostico, due metodi alternativi per affrontare tale problema nel contesto della stima del VaR multivariato di portafoglio, entrambi basati su modelli di tipo GARCH per descrivere le dinamiche univariate dei rendimenti degli asset. Il primo approccio, di natura parametrica, si basa su funzioni copula (approccio GARCH-Copula), mentre il secondo, che rappresenta il contributo innovativo di questo lavoro, sfrutta la teoria del Trasporto Ottimale per modellare la dipendenza in modo non-parametrico, dando così origine all’approccio GARCH-OT. La performance dei modelli GARCH-Copula viene valutata utilizzando sei copule statiche comuni (Gaussiana, t, Frank, Gumbel, Clayton e Joe) e confrontata con quella di tre specificazioni GARCH- OT, calibrate in modo ottimale tramite una nuova procedura di validazione sviluppata in questo studio. L’analisi impiega un framework rolling window, stimando il VaR ai livelli di confidenza del 95% e 99% per un portafoglio equally weighted composto da quattro indici azionari europei, e le performance vengono valutate utilizzando il test di Kupiec, il test di Christoffersen e la Lopez loss function. I risultati dimostrano una forte accuratezza di previsione del VaR per entrambi gli approcci durante tutto il periodo di backtesting. Nel contesto GARCH-Copula, i modelli basati su copule ellittiche superano quelli Archimedei, ad eccezione della copula di Clayton, la cui performance è compa- rabile a quella dei modelli ellittici. L’approccio GARCH-OT rappresenta un’alternativa promettente, in quanto produce risultati comparabili al livello del 99% e solo una modesta sottostima del rischio al livello del 95% rispetto al GARCH-Copula, evidenziando così il suo potenziale nonostante il maggiore costo computazionale e la necessità di una calibrazione accurata.