Analisi Semiclassica dei Sistemi Bosonici Interagenti

This thesis aims at developing semiclassical analysis on states of the resolvent C∗-algebra, which is an algebra encoding the Canonical Commutation Relations. In light of the large number of quantum dynamics and observables encompassed therein, the resolvent C∗-algebra represents a more suitable alternative to the standard Weyl C∗-algebra in describing interacting many-body Bosonic systems. After having outlined the abstract constructions of the Weyl and the resolvent C∗-algebra on an arbitrary symplectic space, we introduce a novel concrete realization of the commutative resolvent C∗-algebra. Together with its non-Abelian counterpart, it is used to provide an original algebraïc framework to characterize the semiclassical limit of Bosonic quantum states. In this limit, classical resolvent states are interpreted as expectation values of functions which belongs to the Abelian resolvent C∗-algebra. Hence, they can be recovered from the quantum ones, read as functionals on the non-Abelian resolvent C∗-algebra, by sending the semiclassical parameter ℏ to zero. In other words, the semiclassical limit turns out to be crucial in the mathematical formulation of the Bohr correspondence principle, which makes precise the connection between the classical and the quantum description of a given system. To verify the robustness of this principle, in this dissertation we build quantization maps on suitable subsets of the commutative resolvent C∗ -algebra, obtaining the corresponding quantum observables in the non-Abelian one. Once the quantization procedure has been performed, we define suitable families of states on quantized resolvent observables. In conclusion, we prove the existence, for those nets of quantum states, of at least one classical state as per ℏ → 0.

Questa tesi si propone di sviluppare l’analisi semiclassica degli stati definiti sulla C∗-algebra dei risolventi, una delle algebre che codificano le Relazioni di Commutazione Canoniche. In virtù dell’elevato numero di dinamiche e osservabili quantistici compresi al suo interno, la C∗-algebra dei risolventi rappresenta un’alternativa più adeguata rispetto alla tradizionale C∗-algebra di Weyl per descrivere i sistemi bosonici a molti corpi interagenti. Dopo aver esposto le costruzioni astratte dell’algebra di Weyl e di quella dei risolventi su un arbitrario spazio simplettico, viene definita una nuova realizzazione concreta della C∗-algebra dei risolventi commutativa. Quest’ultima, insieme alla sua controparte non-abeliana, viene impiegata per costruire un quadro algebrico originale ai fini della caratterizzazione del limite semiclassico degli stati quantistici bosonici. In tale limite, gli stati classici sui risolventi vengono interpretati come valori di aspettazione di funzioni definite sullo spazio delle fasi. Tali stati possono essere ottenuti a partire da quelli quantistici, definiti come funzionali sulla C∗-algebra non-abeliana dei risolventi, facendo tendere a zero il parametro semiclassico ℏ. Il limite semiclassico risulta dunque cruciale nella formulazione del principio di corrispondenza di Bohr, il quale rende esplicita la connessione tra la descrizione classica e quantistica di un sistema fisico. Per verificarne la solidità, in questa tesi vengono definite delle mappe di quantizzazione su opportuni sottoinsiemi della C∗-algebra commutativa dei risolventi, al fine di ottenere i corrispondenti osservabili nell’algebra non-abeliana. Completata la procedura di quantizzazione, si definiscono opportune famiglie di stati sugli osservabili quantizzati. Infine, per le successioni di stati quantistici sopra definite, si dimostra l’esistenza di almeno uno stato classico nel limite ℏ → 0.