Fisica Statistica e Valutazione di Derivati: teoria e metodi computazionali

Over the last decades, physicists have increasingly contributed to modeling financial markets by applying tools from statistical physics. Markets are treated as complex systems exhibiting heavy-tailed return distributions, volatility clustering, and nonlinear correlations, features not captured by the classical Black–Scholes framework of finance. Building on Brownian motion, stochastic processes, and Itô calculus, affine models with stochastic volatility and jumps have been developed to reproduce these stylized facts. These models remain analytically tractable through characteristic functions and enable efficient valuation of financial derivatives using Fourier-based computational methods. However, for those instruments known as zero-days-to-expiry options, which represent a rapidly growing segment of the derivatives market, these models prove inadequate to interpret available data. This is due to the extremely short time horizon that amplifies microstructure effects and market noise. In the thesis, it is shown how an approach based on the Edgeworth expansion offers a more flexible framework to capture the distinctive dynamics of these ultra-short-term contracts and provides new insights into their pricing.

Negli ultimi decenni, i fisici hanno contribuito in misura crescente alla modellizzazione dei mercati finanziari applicando strumenti propri della fisica statistica. I mercati vengono trattati come sistemi complessi, caratterizzati da distribuzioni dei ritorni con code pesanti, clustering di volatilità e correlazioni non lineari, caratteristiche che non trovano adeguata rappresentazione nel classico modello finanziario di Black–Scholes. A partire dal moto browniano, dai processi stocastici e dal calcolo di Itô, sono stati sviluppati modelli affini con volatilità stocastica e salti, capaci di riprodurre tali fatti stilizzati. Questi modelli rimangono analiticamente trattabili attraverso le loro funzioni caratteristiche e consentono una valutazione efficiente dei derivati mediante metodi computazionali basati sull'analisi di Fourier. Tuttavia, per gli strumenti noti come opzioni zero-days-to-expiry, che rappresentano un segmento in rapida espansione del mercato dei derivati, tali modelli si rivelano inadeguati a interpretare i dati disponibili. Ciò è dovuto alla scala temporale estremamente ridotta, la quale amplifica gli effetti di microstruttura e il rumore di mercato. In questa tesi si mostra come un approccio basato sull’espansione di Edgeworth offra un quadro più flessibile per cogliere le dinamiche peculiari di questi contratti e fornisca nuove prospettive sulla loro valutazione.