Introduzione alle Categorie Triangolate Algebriche e Topologiche

The aim of this thesis is to study the relationship between algebraic and topological triangulated categories through the framework of cofibration categories. After recalling the basic properties of triangulated categories, we introduce cofibration categories and show that the homotopy category of a stable pointed cofibration category admits a natural triangulated structure. A topological category is a triangulated category equivalent to the homotopy category of a stable pointed cofibration category. We then introduce pretriangulated dg categories and show that the homology category of any pretriangulated dg category is triangulated. This leads to the notion of algebraic triangulated category and to the result that every algebraic triangulated category is topological. The rest of the thesis is devoted to the construction of the stable homotopy category and to the proof that it is a topological triangulated category which is not algebraic.

Lo scopo di questa tesi è studiare la relazione tra categorie triangolate algebriche e topologiche dal punto di vista delle categorie cofibrate. Dopo aver richiamato le proprietà fondamentali delle categorie triangolate, vengono introdotte le categorie cofibrate e viene mostrato che la categoria omotopa di una categoria cofibrata puntata stabile ammette una naturale struttura triangolata. Una categoria topologica è una categoria triangolata equivalente alla categoria omotopa di una categoria cofibrata puntata stabile. Vengono poi definite le dg categorie pretriangolate e si dimostra che la categoria omologa di una categoria dg pretriangolata è triangolata. Questo porta alla nozione di categoria triangolata algebrica e al risultato che ogni categoria triangolata algebrica è topologica. Il resto della tesi è dedicato alla costruzione della categoria omotopa stabile e alla dimostrazione che quest'ultima è una categoria triangolata topologica che non è algebrica.