Fenomeni di Condensazione in PDE Superlineari di tipo Fokker-Planck per Dinamiche di Consenso

In this thesis we extend the consensus formation model with condensation effects introduced in the works “Emergence of condensation patterns in kinetic equations for opinion dynamics” by Calzola, Dimarco, Toscani and Zanella (Physica D: Nonlinear Phenomena, 2024) and “Supercritical Fokker–Planck equations for consensus dynamics: large-time behaviour and weighted Nash-type inequalities” by Toscani and Zanella (Ricerche di Matematica, 2025), which are inspired by the Kaniadakis–Quarati model for Bose–Einstein condensation in systems of indistinguishable quantum particles. From the study of this kinetic model, the authors derived a nonlinear Fokker–Planck type equation with superlinear drift and showed that, if the initial mass exceeds a critical threshold, its solution exhibits finite-time concentration in certain parameter regimes. Here, we confirm this phenomenon in the extension of the model to a more general class of diffusion functions. Moreover, we extend the framework to a multi-cluster opinion dynamics where several consensus points coexist, and demonstrate that each cluster may develop condensation according to the same regime, with its own critical mass condition. The consistency of the obtained theoretical results are validated through suitable Direct Simulation Monte Carlo methods for kinetic equations.

In questa tesi estendiamo il modello di formazione del consenso con fenomeni di condensazione introdotto negli articoli “Emergence of condensation patterns in kinetic equations for opinion dynamics” di Calzola, Dimarco, Toscani e Zanella (Physica D: Nonlinear Phenomena, 2024) e “Supercritical Fokker–Planck equations for consensus dynamics: large-time behaviour and weighted Nash-type inequalities” di Toscani e Zanella (Ricerche di Matematica, 2025), ispirato al modello di Kaniadakis–Quarati per la condensazione di tipo Bose–Einstein in sistemi di particelle quantistiche indistinguibili. Dallo studio di questo modello cinetico, gli autori hanno derivato un’equazione di tipo Fokker–Planck con drift superlineare e hanno mostrato che, se la massa iniziale supera una soglia critica, la soluzione presenta una concentrazione in tempo finito in determinati regimi parametrici. In questa tesi confermiamo l’emergere di tale fenomeno nell’estensione del modello a una classe più generale di funzioni di diffusione. Inoltre, estendiamo il quadro teorico al caso di dinamiche di opinione multi-cluster, caratterizzate dalla coesistenza di più punti di consenso, e dimostriamo che ciascun cluster può manifestare un fenomeno di condensazione attorno al proprio punto di consenso, secondo lo stesso regime e con la corrispondente massa critica. Infine, verifichiamo la consistenza dei risultati teorici mediante opportuni metodi Direct Simulation Monte Carlo per equazioni cinetiche.