Valutazione efficiente mediante metodi Monte Carlo di opzioni barriera nel modello OUSV: un approccio basato sulla riduzione della varianza

This thesis studies the Monte Carlo pricing of barrier options under the Ornstein--Uhlenbeck stochastic volatility model, abbreviated as OUSV. Barrier options are path-dependent derivatives, since their payoff depends not only on the terminal value of the underlying asset, but also on whether the asset price has reached a predetermined barrier during the life of the contract. The thesis first introduces the main theoretical tools used in the analysis: risk-neutral pricing, Monte Carlo estimation and variance reduction techniques. The methods considered are antithetic variables, control variates and conditional Monte Carlo. The Black--Scholes model is then presented as a benchmark framework, because it provides a simple setting in which exact simulation and vanilla option pricing can be understood before moving to the more general OUSV model. The main part of the thesis focuses on the OUSV model, where the asset price is driven by a latent Ornstein--Uhlenbeck volatility factor. Since the numerical analysis in this thesis focuses on computationally efficient approximate simulation of the OUSV dynamics, three simulation schemes are considered: the Euler scheme, a scheme based on van Haastrecht, Lord and Pelsser, and the Inverse Gaussian Scheme proposed by Brignone and Sgarra. These schemes are applied to the pricing of up-and-in and up-and-out call options for different barrier levels. Each barrier is treated as a separate contract and the comparison uses end-to-end computational times, with pathwise early stopping when the payoff or estimator is determined at the first hitting time. The results show that control variates are generally preferred for up-and-in calls and for high-barrier up-and-out calls, while plain Monte Carlo and antithetic variables remain competitive for low-barrier up-and-out contracts. A separate comparison of the simulation schemes shows that the Inverse Gaussian Scheme provides the smallest observed pricing deviation on both coarse and fine grids, while Euler and VHP become statistically consistent with the Fourier benchmark on the fine grid at substantially lower computational cost.

Questa tesi studia la valutazione mediante metodi Monte Carlo di opzioni barriera nel modello di volatilità stocastica Ornstein--Uhlenbeck, abbreviato come OUSV. Le opzioni barriera sono derivati path-dependent, poiché il loro payoff dipende non solo dal valore finale dell'attività sottostante, ma anche dal fatto che il prezzo abbia raggiunto una barriera prefissata durante la vita del contratto. La tesi introduce innanzitutto gli strumenti teorici principali utilizzati nell'analisi: la valutazione risk-neutral, la stima Monte Carlo e le tecniche di riduzione della varianza. I metodi considerati sono le variabili antitetiche, le variabili di controllo e il conditional Monte Carlo. Il modello di Black--Scholes viene poi presentato come framework di riferimento, poiché fornisce un contesto semplice in cui comprendere la simulazione esatta e la valutazione di opzioni vanilla prima di passare al modello OUSV. La parte principale della tesi si concentra sul modello OUSV, nel quale il prezzo dell'attività sottostante è guidato da un fattore latente di volatilità con dinamica Ornstein--Uhlenbeck. Poiché l'analisi numerica di questa tesi si concentra su schemi approssimati ed efficienti per la simulazione delle dinamiche OUSV, vengono considerati tre schemi di simulazione: lo schema di Eulero, uno schema basato su van Haastrecht, Lord e Pelsser, e l'Inverse Gaussian Scheme proposto da Brignone e Sgarra. Questi schemi vengono applicati alla valutazione di opzioni call up-and-in e up-and-out per diversi livelli di barriera. Ogni barriera è trattata come un contratto separato e il confronto utilizza tempi computazionali end-to-end, con arresto anticipato dei percorsi quando il payoff o lo stimatore risultano determinati al primo hitting. I risultati mostrano che le variabili di controllo sono generalmente preferibili per le up-and-in e per le up-and-out con barriera elevata, mentre Monte Carlo plain e variabili antitetiche rimangono competitivi per le up-and-out con barriera bassa. Un confronto separato tra gli schemi di simulazione mostra inoltre che l'Inverse Gaussian Scheme presenta la minore deviazione di prezzo osservata sia sulla griglia grossolana sia su quella fine, mentre sulla griglia fine Eulero e VHP risultano compatibili con il benchmark Fourier a un costo computazionale sensibilmente inferiore.