Geometria enumerativa delle superfici cubiche: tre prospettive sulle 27 rette.

This thesis explores the classical problem of counting the 27 lines on a smooth cubic surface in \mathbb{P}^3 using three different algebraic and geometric perspectives. ​In the first chapter, we introduce the geometric foundations of the problem. By studying the Fano scheme of lines, we prove that a general cubic surface over an algebraically closed field contains a non-empty, finite set of lines. ​In the second chapter, we determine the exact number of lines using intersection theory. We compute this number by setting up an intersection problem on the Grassmannian G(2,4), through Chern classes and Schubert cycles to calculate the zero locus of a section of a suitable vector bundle. ​Finally, in the third chapter, we analyze the configuration of these lines from a birational point of view. We describe the cubic surface as the blow-up of \mathbb{P}^2 at six general points, examine the geometry of the exceptional divisors, and discuss some applications using the Grothendieck ring.

Questa tesi esplora il problema classico di contare le 27 rette su una superficie cubica liscia di \mathbb{P}^3 tramite tre prospettive algebriche e geometriche differenti. Nel primo capitolo introduciamo la base geometrica del problema. Studiando lo schema di Fano delle rette, dimostriamo che una superficie cubica generale su un campo algebricamente chiuso contiene un insieme di rette finito e non vuoto. Nel secondo capitolo, determiniamo l'esatto numero di rette usando la teoria dell'intersezione. Calcoliamo questo numero impostando un problema di intersezione sulla Grassmanniana G(2,4), attraverso le classi di Chern e i cicli di Schubert per ottenere il luogo di zeri di una sezione di un determinato fibrato vettoriale. Infine, nel terzo capitolo, analizziamo le configurazioni di queste rette dal punto di vista birazionale. Descriviamo le superfici cubiche come lo scoppiamento di \mathbb{P}^2 in sei punti in posizione generale, esaminiamo la geometria dei divisori eccezionali e discutiamo infine alcune applicazioni usando l'anello di Grothendieck.