The Compactification of Teichmüller Space via Geodesic Currents

This thesis investigates the compactification of Teichmüller space of a closed surface using the theory of geodesic currents, an approach introduced by Francis Bonahon. Teichmüller space parameterizes all hyperbolic metrics on a closed surface up to isotopy. By defining geodesic currents as invariant measures on the space of geodesics of the hyperbolic plane, Bonahon's framework creates a unified space where simple closed curves, hyperbolic metrics, and measured laminations coexist. Within this setting, a bilinear form, called the intersection form, generalizes both curve lengths and geometric intersection numbers between curves. Compactifying Teichmüller space is crucial for analyzing the asymptotic degenerations of hyperbolic metrics when curve lengths shrink or grow at infinity. By associating each hyperbolic metric with its Liouville current, Teichmüller space embeds naturally into the projectivized space of geodesic currents. This construction yields a compactification whose ideal boundary is naturally identified with the space of projective measured laminations, recovering Thurston's classical compactification of Teichmüller space.

Questa tesi approfondisce la compattificazione dello spazio di Teichmüller di una superficie chiusa attraverso la teoria delle correnti geodetiche, un approccio introdotto da Francis Bonahon. Lo spazio di Teichmüller parametrizza tutte le metriche iperboliche su una superficie chiusa a meno di isotopia. Definendo le correnti geodetiche come misure invarianti sullo spazio delle geodetiche del rivestimento universale, l'approccio di Bonahon crea uno spazio unico in cui coesistono curve semplici chiuse, metriche iperboliche e laminazioni misurate. In questo contesto, una forma bilineare, chiamata forma d'intersezione, generalizza sia le lunghezze delle curve sia i numeri di intersezione tra curve. Compattificare lo spazio di Teichmüller è fondamentale per analizzare le degenerazioni asintotiche delle metriche iperboliche quando le lunghezze delle curve variano all'infinito. Associando a ciascuna metrica iperbolica la propria corrente di Liouville, lo spazio di Teichmüller si immerge naturalmente nello spazio proiettivizzato delle correnti geodetiche. Questa costruzione fornisce una compattificazione il cui bordo ideale si identifica naturalmente con lo spazio delle laminazioni misurate proiettive, riottenendo la classica compattificazione dello spazio di Teichmüller dovuta a Thurston.