Comparison of the stability terms in the virtual element method

Introduced in 2013, the Virtual Elements Method is a novel numerical method for the solution of partial differential equations on polygonal meshes. The main feature in its approach is to define the approximation space in an implicit way and to require local consistency only on polynomials. Thus, non-polynomial functions can be included, allowing to achieve conformity without the requirement to determine their actual expression when computing the local stiffness matrix. A key ingredient of the method is the introduction of a non consistent stabilization term, allowing to control the non polynomial part. After recalling the general principles of the method, in this work we review the different possibilities available in the literature for such a term, and we propose a novel one. In the framework of a MATLAB (R) code we implemented the different stabilization terms and, on a simple 2D model problem, we compared their performance on meshes of "badly shaped" polygons, for discretizations of increasing order.

Confronto dei termini di stabilizzazione nel metodo degli elementi virtuali. Introdotto nel 2013, il Metodo degli Elementi Virtuali è un moderno metodo numerico per la soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali su mesh poligonali. La principale caratteristica nel suo approccio è quella di definire lo spazio delle approssimazioni in modo implicito e di richiedere consistenza locale solo con polinomi. Quindi, funzioni non polinomiali possono essere incluse, consentendo di garantire conformità senza la necessità di determinare la loro effettiva espressione per il calcolo della matrice locale di rigidezza. Un ingrediente chiave del metodo è quello di introdurre un termine di stabilizzazione non consistente, consentendo il controllo sulla parte non polinomiale. Dopo aver richiamato i principi generali del metodo, in questo lavoro riprendiamo le diverse possibilità disponibili in letteratura per questo termine e ne proponiamo uno nuovo. In ambiente di lavoro MATLAB (R), i vari termini di stabilizzazione son stati implementati e, su un semplice problema-modello in 2D, sono state confrontate le loro prestazioni su diverse mesh di poligoni dalla forma particolare, per discretizzazioni di ordine crescente.