Il ruolo del metodo di Borda nella teoria del voto

This thesis focuses on voting theory, electoral systems, and decision-making processes, with particular emphasis on the Borda Count, its mathematical properties, and its main limitations. Chapter 1 introduces the fundamental concepts of elections, providing the mathematical foundations necessary to understand different systems. A historical overview of the origins of the Borda Count will be presented, discussing the differences of its attribution by two points of view: one from Raimondo Lullo, an intellectual who used mathematical reasoning to support the truth of Christianity in his theological writings, as exemplified in the Art of Elections, and who is also associated with the method known as Condorcet; and the other from Nicolò Cusano, a theologian who, in his major work De Concordantia Catholica, examined voting procedures, including an early formulation of what would later become the Borda Count. The chapter concludes with an overview of the Condorcet method and Arrow’s axioms, offering a comparative framework to understand the Borda Method. Chapter 2 focuses on the most prominent class of social choice functions, the Borda Count, outlining its core features as a voting method. Its behavior is then analyzed in relation to the Condorcet method and Arrow’s axioms, and its relationship with the Weak Pareto Principle. Chapter 3 examines how symmetries can highlight key aspects of the Borda Count, particularly its capacity to decrease the frequency of voting paradoxes when compared to other positional voting systems, meaning those based on assigning scores to candidates. Chapter 4 proposes an alternative perspective by introducing a distinct set of axioms, different from Arrow’s, which characterize the Borda Count. Despite its advantages over other positional voting systems, the Borda Count remains vulnerable to strategic manipulation by coalitions of voters. Nevertheless, through the demonstration of the Gibbard-Satterthwaite Theorem, this thesis highlights the fundamental impossibility of designing a voting system that is simultaneously non-manipulable, non-dictatorial, and applicable to elections involving at least three alternatives.

Oggetto di questa tesi è l'esame della teoria del voto, dei sistemi elettorali e dei processi decisionali, trattando in particolare il Metodo di Borda, le sue proprietà matematiche e le principali criticità. Nel capitolo 1, introdurremo i concetti fondamentali delle elezioni, gettando le basi matematiche per comprendere i diversi sistemi, con un accenno dal punto di vista storico in merito alla nascita del Metodo di Borda, discutendo i contrasti per la sua attribuzione tra Raimondo Lullo, un'intellettuale che introdusse molteplici argomentazioni matematiche per avvalorare la verità del cristianesimo nelle sue opere teologiche, come si può notare nella sua \textit{L'Arte delle Elezioni} e a cui è attribuito l'attuale metodo di Condorcet, e Nicolò Cusano, un teologo che nella sua opera principale "\textit{De Concordantia Catholica}" discusse le procedure di voto, tra cui una prima versione del metodo di Borda conosciuto oggi. Successivamente introdurremo il metodo di Condorcet e gli assiomi di Arrow, con le loro principali caratteristiche, come elementi di paragone rispetto al nostro tema centrale, il metodo di Borda. Nel capitolo 2 esamineremo la più importante famiglia di funzioni di scelta sociale, il Metodo di Borda, presentando le sue caratteristiche principali come sistema elettorale e, successivamente, andremo a declinare il suo comportamento in relazione al Metodo di Condorcet e agli Assiomi di Arrow. Inoltre chiariremo il rapporto tra il metodo di Borda e la condizione debole di Pareto. Nel capitolo 3 analizzeremo come le simmetrie possano mettere in evidenza alcuni tratti caratteristici del metodo di Borda, prima di tutto il fatto che con questo metodo si possono ridurre i possibili paradossi elettorali rispetto agli altri metodi di voto posizionali, basati cio\`e sull'attribuzione di punteggi ai vari candidati. Nel capitolo 4 presenteremo una diversa lettura, individuando un insieme di assiomi, ovviamente diversi da quelli di Arrow, che caratterizzano il metodo di Borda. A dispetto del suo ruolo privilegiato rispetto agli altri sistemi posizionali di voto, il metodo di Borda offre il fianco alla manipolabilità strategica da parte di gruppi di elettori. Dimostrando per\`o il Teorema di Gibbard-Satterthwaite, metteremo in luce l'impossibilità di progettare sistemi di voto che siano, allo stesso tempo, non manipolabili, non dittatoriali e che coinvolgano almeno tre alternative.