Un approccio di teoria dei campi alla congettura di Fried nel caso Morse-Smale

This thesis explores the profound connection between Topological Quantum Field Theory and dynamical systems through a field-theoretic analysis of Abelian BF theory. Employing the Batalin-Vilkovisky formalism, the partition function of the theory is computed using two distinct gauge-fixing procedures. The first, a standard metric-dependent gauge, also known as “Lorenz gauge” in physics literature, is shown to yield the Ray-Singer analytic torsion, which is a topological invariant of the underlying manifold. The second, a novel axial gauge adapted to Morse-Smale flows, is proven to correspond to the value at zero of the Ruelle Zeta function, which is instead a quantity directly related to the underlying dynamical system. This work provides a physical interpretation of the generalised Fried conjecture by the physical expectation that observable quantities in QFT should not depend on gauge-fixing choices. By conceptualizing the partition function as the result of a partial integration over the space of fields, we demonstrate that this procedure yields a composite object possessing both a vector and a scalar component, correctly encoding that both the analytic torsion and the value at zero of the Ruelle Zeta function are not scalar invariants, but rather norms on appropriate vector spaces. The vector component is shown to be common to both gauge-fixing procedures, while the scalar component is identified as the Ray-Singer analytic torsion in the metric gauge, and as the product of the Ruelle Zeta function and the torsion of the Thom-Smale complex in the axial gauge. This result confirms that the two computations yield the correct norms as prescribed by the generalised Fried conjecture, thereby establishing the consistency of the field-theoretic approach in the more complex setting of Morse-Smale flows.

In questo lavoro di tesi si esplora la profonda connessione tra la Teoria Quantistica dei Campi Topologica e i sistemi dinamici, mediante un'analisi di teoria dei campi della teoria BF Abeliana. Impiegando il formalismo di Batalin-Vilkovisky, la funzione di partizione della teoria viene calcolata utilizzando due distinte procedure di gauge-fixing. La prima, una scelta di gauge standard dipendente dalla metrica, nota nella letteratura fisica come "gauge di Lorenz", conduce alla torsione analitica di Ray-Singer, un invariante topologico della varietà sottostante. La seconda, un nuovo gauge assiale adattato ai flussi di tipo Morse-Smale, si dimostra corrispondere al valore in zero della funzione Zeta di Ruelle, una quantità invece direttamente legata al sistema dinamico sottostante. Questo lavoro fornisce un'interpretazione fisica della congettura di Fried generalizzata, sulla base del principio fisico secondo cui le quantità osservabili in QFT non debbano dipendere dalla scelta di gauge-fixing. Pensando alla funzione di partizione come il risultato di un'integrazione parziale sullo spazio dei campi, si dimostra che tale procedura produce un oggetto composito, che possiede sia una componente vettoriale che una scalare, codificando correttamente il fatto che sia la torsione analitica sia il valore in zero della funzione Zeta di Ruelle non sono invarianti scalari, bensì norme su opportuni spazi vettoriali. Si dimostra che la componente vettoriale è comune a entrambe le procedure di gauge-fixing, mentre la componente scalare viene identificata con la torsione analitica di Ray-Singer nella gauge metrica, e con il prodotto della funzione Zeta di Ruelle e della torsione del complesso di Thom-Smale nel gauge assiale. Questo risultato conferma che i due calcoli producono le norme corrette come prescritto dalla congettura di Fried generalizzata, stabilendo così la coerenza dell'approccio di teoria dei campi nel contesto più complesso dei flussi di tipo Morse-Smale.