La costruzione dei reali a scuola e in università. Un'analisi storica

This historical essay analyzes the spread in Italy of the construction of real numbers as proposed by Richard Dedekind in 1872. Dedekind’s new ideas stemmed from a pedagogical need, prompted by the Coppino decree of 1867, and were widely adopted in both high schools and universities. Dedekind's approach was part of a broader process of "arithmetization of analysis", which aimed to ground mathematical analysis exclusively on mathematical principles, freeing it from its dependence on geometry. Dedekind's essay, "Continuity and Irrational Numbers," introduced his theory of Dedekind section, defining a real number as a "section" that divides the set of rational numbers into two classes. This script explores how various Italian mathematicians contributed to this dissemination. Dini initially used geometry before moving to pure arithmetic, Capelli and Garbieri, in their work, focused on defining equality, order, and operations with irrational numbers, Gazzaniga showed the connection between real numbers and physical quantities, Arzelà preferred Cantor’s approach, recognizing the topic to the final years of high school due to its didactic complexity, Pincherle and Catania treated the origin of irrational numbers through the concept of function limits, particularly Catania utilizing the ideographic school of Peano, finally Faifofer who tried to reconcile geometric intuition with algebraic abstraction to facilitate student learning. The essay concludes by showing how this historical treatment created a closer link between university and secondary education, as each author strived to find the most effective mathematical methods for students to learn the rigorous construction of real numbers.

In questo elaborato di natura storica è stata analizzata la diffusione della costruzione dei numeri reali in Italia proposta da Dedekind nel 1872. Le nuove idee di Dedekind nacquero da un’esigenza didattica, spinta dal decreto Coppino del 1867 e si diffusero largamente sia nelle scuole superiori che nelle università. L’approccio di Dedekind si inserisce in un ampio processo di "aritmetizzazione dell’analisi”, che mirava a fondare l’analisi matematica esclusivamente su basi matematiche liberandola dalla dipendenza della geometria. Il saggio di Dedekind "Continuità e numeri irrazionali" introdusse la teoria delle sezioni di Dedekind definendo un numero reale come una “sezione” che divide l’insieme dei numeri razionali in due classi. Lo scritto esplora come vari matematici italiani abbiano contribuito a questa diffusione: Dini partì dalla geometria per poi spostarsi sull’aritmetica pura; Capelli e Garbieri, nel loro “Corso di Analisi Algebrica” si concentrano sulla definizione di uguaglianza, ordinamento e operazioni con i numeri irrazionali; Gazzaniga mostrò il legame tra i numeri reali e le grandezze fisiche; Arzelà preferì l’approccio di Cantor rimandando la trattazione alle classi terminali delle scuole superiori riconoscendo la complessità didattica; Pincherle e Catania trattarono la nascita dei numeri irrazionali attraverso il concetto di limiti di funzioni, Catania utilizzando peraltro la scuola ideografica di Peano, infine Faifofer che cercò di conciliare l’intuizione geometrica con l’astrazione algebrica per agevolare l’apprendimento degli studenti. Al termine del lavoro si evince come, con questa trattazione storica, si offra una vicinanza tra l’insegnamento universitario e quello secondario e come ogni autore si sforzi nel trovare metodi matematicamente più efficaci per far assimilare agli studenti la costruzione rigorosa dei numeri reali.