Il problema di ottimizzazione vettoriale e la sua scalarizzazione: applicazioni all'economia del benessere.

This thesis deals with vector optimization problems and scalarization techniques, with particular attention to applications in welfare economics. After introducing the main mathematical preliminaries — including cones, convexity, order relations, and notions of minimality — the study focuses on Pareto efficiency and on conditions ensuring the existence of efficient solutions in multiobjective optimization problems. The thesis then examines both linear and adaptive scalarization methods, highlighting their role in transforming vector optimization problems into more tractable scalar ones. A key theoretical result is the Arrow–Barankin–Blackwell theorem, which, under suitable assumptions, characterizes Pareto-efficient points through linear functionals and shows that they can be obtained as solutions of weighted scalar optimization problems. In this sense, scalarization is not only a computational tool but also a theoretical framework for understanding the structure of efficient solutions. Finally, these methods are applied to welfare economics. In particular, the relationship between social welfare functions and Pareto efficiency is analyzed in light of the two fundamental theorems of welfare economics, which establish a deep connection between competitive equilibria and Pareto efficiency under assumptions of convexity and market completeness.

La presente tesi analizza il problema dell’ottimizzazione vettoriale e le tecniche di scalarizzazione, con particolare attenzione alle applicazioni nell’ambito dell’economia del benessere. Dopo aver introdotto i principali strumenti matematici — quali coni, convessità, relazioni d’ordine e nozioni di minimalità — il lavoro si concentra sul concetto di efficienza paretiana e sulle condizioni di esistenza delle soluzioni efficienti nei problemi multiobiettivo. Successivamente, vengono esaminate tecniche di scalarizzazione, sia lineari sia adattive, evidenziandone il ruolo nel ricondurre problemi vettoriali a problemi scalari più trattabili. In questo ambito, un risultato centrale è rappresentato dal teorema di Arrow, Barankin e Blackwell, che, sotto opportune ipotesi, permette di caratterizzare i punti Pareto-efficienti tramite funzionali lineari, mostrando come essi possano essere ottenuti come soluzioni di problemi di ottimizzazione scalare pesata. La scalarizzazione emerge così non solo come tecnica operativa, ma come strumento teorico per comprendere la struttura delle soluzioni efficienti. Nell’ultima parte della tesi tali strumenti vengono applicati all’analisi dell’economia del benessere. In particolare, viene discusso il ruolo delle funzioni di benessere sociale e il loro legame con l’efficienza paretiana, alla luce dei due teoremi fondamentali dell’economia del benessere. Tali risultati mostrano, sotto opportune ipotesi di convessità e completezza dei mercati, la profonda relazione tra equilibrio competitivo ed efficienza paretiana.