Approssimazione binomiale del moto browniano e del suo massimo

This thesis investigates the approximation of Brownian motion and its running maximum by means of a suitably rescaled simple random walk and its application to the pricing of exotic options. The main objective is to assess whether this approximation can provide a valid and competitive alternative framework to standard Brownian-motion-based methods. The financial instruments considered in this work are path-dependent options whose payoff depends on several characteristics of the underlying asset price process, including the entire price history during the contract lifetime, the possible crossing of predetermined barrier levels, and the terminal asset price at maturity. The study begins by introducing the probabilistic and financial concepts required throughout the thesis, with a focus on stochastic processes, option pricing theory, and the Black-Scholes framework. These tools provide the theoretical foundation for the numerical methods developed later and represent the standard benchmark for pricing path-dependent derivatives. The core of the thesis is based on Donsker's Theorem, which establishes the weak convergence of a suitably normalized random walk to Brownian motion. This result is used to construct a numerical pricing procedure based on a binomial-tree framework, extending its traditional application to the valuation of pure European options by considering path-dependent contracts involving the running maximum, with particular attention to barrier-type contracts. After developing the discrete approximation of the pricing function, the convergence rate towards the continuous model is investigated both analytically and numerically. The analysis shows that the approximation error decreases as the number of discretization steps increases. Finally, numerical experiments are performed to evaluate the accuracy of the proposed methodology. Values obtained through the random-walk approximation are compared with Monte Carlo estimates and numerical integration results. The results show that the proposed approach provides accurate approximations for barrier-type contracts and represents an effective computational framework. When the discretization level remains computationally manageable, the random-walk approach provides competitive results while retaining the structural advantages of lattice methods. In particular, the backward-induction framework naturally extends to dynamic hedging applications, although at the cost of increased memory requirements.

Questa tesi indaga l'approssimazione del moto browniano e del suo massimo mediante una passeggiata casuale semplice opportunamente riscalata e la sua applicazione alla determinazione del prezzo di opzioni esotiche. L'obiettivo principale è valutare se questa approssimazione possa fornire un quadro alternativo valido e competitivo ai metodi standard basati sul moto browniano. Gli strumenti finanziari considerati in questo lavoro sono opzioni europee il cui profitto dipende da diverse caratteristiche del processo di prezzo delle attività sottostanti, tra cui l'intera cronologia dei prezzi durante la durata del contratto, il possibile superamento di livelli di barriera predeterminati e il prezzo terminale delle attività alla scadenza. Lo studio inizia introducendo i concetti probabilistici e finanziari richiesti in tutta la tesi, con particolare attenzione ai processi stocastici, alla teoria dei prezzi delle opzioni e al modello Black-Scholes. Questi strumenti forniscono la base teorica per i metodi numerici sviluppati successivamente e rappresentano il punto di riferimento standard per la determinazione del prezzo dei derivati dipendenti dal percorso. Il nucleo della tesi si basa sul Teorema di Donsker, che stabilisce la debole convergenza di una passeggiata casuale opportunamente riscalata al moto browniano. Questo risultato viene utilizzato per costruire una procedura di determinazione esplicita dei prezzi basata su una struttura ad albero binomiale, estendendo la sua applicazione tradizionale alla valutazione di opzioni europee pure, considerando contratti dipendenti dal percorso che coinvolgono il massimo corrente, con particolare attenzione ai contratti di tipo barriera. Dopo aver sviluppato l'approssimazione discreta della funzione di prezzo, il tasso di convergenza verso il modello continuo viene studiato sia analiticamente che numericamente. L'analisi mostra che l'errore di approssimazione diminuisce all'aumentare del numero di passaggi di discretizzazione. Infine, vengono eseguiti esperimenti numerici per valutare l'accuratezza della metodologia proposta. I valori ottenuti tramite l'approssimazione random-walk vengono confrontati con le stime Monte Carlo e i benchmark di integrazione numerica. I risultati mostrano che l’approccio proposto fornisce approssimazioni accurate per i contratti di tipo barriera e rappresenta un quadro computazionale efficace. Quando il livello di discretizzazione rimane computazionalmente gestibile, l’approccio random-walk fornisce risultati competitivi pur mantenendo i vantaggi strutturali dei metodi reticolari. In particolare, il framework di induzione all'indietro si estende naturalmente alle applicazioni di copertura dinamica, anche se a costo di maggiori requisiti di memoria.