Varietà di Bandiera Generalizzate attraverso i Diagrammi di Dynkin

This thesis provides an overview of the connection between Dynkin diagrams and generalized flag manifolds. After introducing the preliminary notions concerning Lie algebras and Lie groups, the focus shifts to semisimple complex Lie algebras and their root space decomposition and, consequently, abstract root systems and Dynkin diagrams. The second part of the work focuses on homogeneous spaces and their description as coset spaces, in particular, generalized flag manifolds are presented and, using the theory introduced earlier, classified by means of painted Dynkin diagrams. The effectiveness of these representations is presented through the computation of some invariants associated with generalized flag manifolds using combinatorial arguments originating from the painted Dynkin diagrams.

Questa tesi fornisce una panoramica della connessione tra diagrammi di Dynkin e varietà di bandiera generalizzate. Dopo aver introdotto le nozioni preliminari riguardanti le algebre e i gruppi di Lie, ci si concentra sulle algebre di Lie complesse semisemplici, la loro decomposizione in spazi di radici e, conseguentemente, sui sistemi di radici astratti e diagrammi di Dynkin. La seconda parte dell’elaborato è dedicata agli spazi omogenei e alla loro descrizione come spazi di classi laterali, in particolare, si introducono le varietà di bandiera generalizzate e, mediante la teoria introdotta precedentemente, esse vengono classificate per mezzo dei diagrammi di Dynkin dipinti. L’efficacia di tali rappresentazioni è illustrata attraverso il calcolo di alcuni invarianti associati alle varietà di bandiera generalizzate utilizzando argomenti di tipo combinatorio basati sui diagrammi di Dynkin dipinti.