Teoria e Simulazione del Moto Browniano Frazionario

Many complex systems in nature and society are not memoryless (i.e. Markovian) but they exhibit correlations or long-range dependence and are often characterized by anomalous diffusion. A non-Markovian stochastic process capable of capturing these features is fractional Brownian motion (fBM), introduced by Mandelbrot and van Ness (1968). Fields of application of fBM include biology, computer science, fluid dynamics, geophysics, and finance. Empirical studies of financial time series show evidence of memory, which motivates the use of fBM to model the autocorrelations of financial returns and volatility. The main aim of this thesis is to illustrate the theory of fBM-driven processes, validate their emergent statistical properties and investigate the implication of memory in financial returns for option pricing. The analyses were carried out by comparing theoretical results with data generated using one of the main fBM simulation algorithms (Davies-Harte). They highlight the Hurst parameter as a measure of correlation, confirm the Gaussian nature of fBM, the variance scaling property and the presence of long-range autocorrelation among the process increments. Moreover, introducing correlation into financial returns affects the valuation of financial derivatives, with a consequent decrease in option prices. Overall, the results provide a model that, compared with the classical memoryless framework, offers closer adherence to the phenomenology observed in financial markets.

Molti sistemi complessi nella natura e nella società non sono senza memoria (Markoviani) ma esibiscono correlazioni o long-range dependence e sono spesso caratterizzati da una diffusione anomala. Un processo stocastico non Markoviano capace di catturare questi aspetti è il fractional Brownian motion (fBM), proposto da Mandelbrot e van Ness (1968). Campi di applicazione del fBM includono la biologia, la computer science, la fluidodinamica, la geofisica e la finanza. Attualmente, gli studi empirici sulle serie storiche finanziarie evidenziano la presenza di memoria, il che giustifica l’utilizzo del fBM per modellare le autocorrelazioni dei rendimenti e della volatilità. Il principale obiettivo di questa tesi è illustrare la teoria dei processi fBM-driven, verificare le proprietà statistiche emergenti e indagare le implicazioni sull’option pricing della presenza di memoria nei rendimenti finanziari. Le analisi sono state effettuate confrontando i risultati teorici con i dati generati mediante uno dei principali algoritmi di simulazione del fBM (Davies-Harte). Queste evidenziano il parametro di Hurst come misura della correlazione, confermano la natura Gaussiana del fBM, la proprietà di scaling della varianza e la presenza di autocorrelazione a lungo raggio tra gli incrementi del processo. Inoltre, l’introduzione della correlazione nei rendimenti finanziari influisce sulla valutazione dei derivati finanziari, con conseguente diminuzione dei prezzi delle opzioni. I risultati ottenuti forniscono un modello che rispetto a quello classico, privo di memoria, è capace di maggiore aderenza alla fenomenologia osservata nei mercati finanziari.