Categorie Derivate con un'Applicazione alle Decomposizioni Semiortogonali di Superfici di Enriques

In algebraic geometry, the bounded derived category $D^b(X)$ of a smooth projective variety $X$ is an invariant that is finer than (co)homology; its semiorthogonal decompositions are a way of isolating parts of $D^b(X)$ which may carry a strong relationship with the geometry of $X$. In this thesis we develop the theory of derived categories, semiorthogonal decompositions, and Fourier--Mukai functors from the beginning, and we apply it to Enriques surfaces $S$: the numerical and lattice-theoretic properties of $S$ produce a semiorthogonal decomposition $D^b(S)=\langle \mathcal{K}u(S,\mathcal{L}),\mathcal{L} \rangle$ (with $\mathcal{L}$ generated by exceptional line bundles), whose residual component $\mathcal{K}u(S,\mathcal{L})$ is an object of interest. We conclude by presenting the two derived Torelli theorems: $D^b(S)$, and even the residual component alone, determine $S$ up to isomorphism.

In geometria algebrica, la categoria derivata limitata $D^b(X)$ di una varietà proiettiva liscia $X$ è un invariante più fine della (co)omologia; le sue decomposizioni semiortogonali consentono di isolare parti di $D^b(X)$ che possono essere strettamente legate alla geometria di $X$. In questa tesi sviluppiamo, partendo dalle basi, la teoria delle categorie derivate, delle decomposizioni semiortogonali e dei funtori di Fourier-Mukai, applicandola poi alle superfici di Enriques $S$: le proprietà numeriche e reticolari di $S$ danno luogo a una decomposizione semiortogonale $D^b(S)=\langle \mathcal{K}u(S,\mathcal{L}),\mathcal{L} \rangle$ (dove $\mathcal{L}$ è generata da fibrati in rette eccezionali), la cui componente residua $\mathcal{K}u(S,\mathcal{L})$ costituisce un oggetto di particolare interesse. Concludiamo presentando i due teoremi di Torelli derivati: $D^b(S)$, e persino la sola componente residua, determinano $S$ a meno di isomorfismo.