Evoluzione storica del problem solving geometrico nel periodo moderno: il problema del quadrato e le sue implicazioni didattiche

The aim of this work is to present the main developments in the field of geometric problem solving during the modern period (c. 1590 - 1750), devoting particular attention to the key events that supported this evolution and that led to the results we have analyzed. First of all we focused on the discussion in the field of geometric problem solving related to the exactness of geometrical constructions and consequently to the acceptability of the methods of construction and their classification. Then, we highlighted how this discussion was reorganized as a result of the publication of the Latin translation by Federigo Commandino of the Pappus’ Collection in 1588, as well as the introduction of a new method of analysis based on algebra, introduced by the French mathematician Fran ̧cois Viète. These two are the events that influenced the most this historical period, and their consequences can be found in every work from that period. Another essential point we focused on was the publication of the text La Géometrie by Descartes in 1637. This book stands as a bridge between the early and the late modern periods, marking a turning point in the field of geometric problem solving. A consequence of this publication was the unification of the opinions around the exactness of the methods of constructions, establishing an approach to the resolution of geometric problems commonly accepted by all the mathematicians. Descartes appears to be a central character of this historical period, and his work has a decisive role in the creation of a new field of mathematics: the analytic geometry. After having presented the historical context, our purpose was to analyze the developments in the field of geometric construction during the modern period. To reach this aim we decided to analyze an historical problem broadly discussed in the literature of that period: the Pappus problem. Our choice was based on the fact that this problem can be found in Pappus’ Collections, as well as in many other text published by the mathematicians from the modern period, including Marino Ghetaldi, Albert Girard, Ren ́e Descartes and Isaac Newton. The analysis of their solutions led us to the formulation of some specific observations about the developments previously mentioned. In particular we highlighted the complex relation between geometry and algebra and the gradual integration of the two disciplines, that led to the creation of analytic geometry as an independent field of study. In the second part of our work we focused on the analysis of some didactical texts where the Pappus’ problem is mentioned. These texts, most of which were collections of exercises, allowed us to highlight the usefulness of this problem in an educational context. In particular we examined the relations between the historical observations we made before and the reasons that led the authors to the use of this problem in didactical activities; in this context we emphasized the duality of the resolutions presented (geometric and algebraic resolutions) and the importance of proposing to the students non-trivial problems. These implications led us to investigate two didactical themes that have recently been examined by the didactical research. These two aspects where the integration of the history of mathematics in the educational practice and the value attributed to making errors in the learning process. Some reflections about these themes, based on the study of some recent work in this field, are presented.

L’obiettivo di questo lavoro di tesi è quello di presentare le principali evoluzioni nel campo del problem solving geometrico avvenute durante il periodo moderno (1590 - 1750 circa), ponendo particolare attenzione a quelli che sono stati gli avvenimenti chiave che hanno portato a questa evoluzione e ai risultati che sono stati raggiunti. Innanzitutto la nostra attenzione è stata posta sulla discussione che si instaura nel contesto del problem solving geometrico sull’esattezza delle costruzioni geometriche e sulla conseguente accettabilità e classificazione dei metodi di risoluzione. Abbiamo poi evidenziato come tale discussione abbia subito una decisiva riorganizzazione in seguito alla pubblicazione della traduzione latina delle Collezioni di Pappo nel 1588 ad opera di Federigo Commandino e anche all’introduzione di un nuovo metodo di analisi basato sull’utilizzo dell’algebra, ad opera del matematico francese François Viète. Questi due eventi sono quelli che maggiormente caratterizzano questo periodo storico, le cui conseguenze sono osservabili all’interno di ogni opera dell’età moderna. Un altro snodo cruciale che abbiamo trattato è la pubblicazione della Géométrie di Cartesio nel 1637. Questa opera si pone come collegamento tra il primo e il secondo periodo moderno, segnando una svolta nel campo del problem solving geometrico che da tempo era attesa. Quest’ultima ha portato all’unificazione delle varie opinioni matematiche nel dibattito sull’esattezza delle costruzioni, fornendo un approccio condiviso per la risoluzione dei problemi geometrici, che fino ad allora era mancato. Cartesio emerge pertanto come figura chiave di questo periodo storico e la sua opera ricopre un ruolo decisivo nella creazione di un nuovo campo della matematica: la geometria analitica. Superato questo breve studio del contesto storico, l’obiettivo che ci siamo posti è stato quello di analizzare le principali evoluzioni che hanno contraddistinto il campo delle costruzioni geometriche durante l’età moderna, attraverso l’analisi di un problema ampiamente trattato in letteratura: il problema del quadrato. La scelta di questo problema è stata inoltre dettata dalla presenza di quest’ultimo all’interno delle Collezioni di Pappo, che come abbiamo già avuto modo di sottolineare, hanno svolto un ruolo decisivo all’interno di questo contesto storico. Tale problema è stato più volte ripreso da diversi matematici dell’età moderna, tra i quali ricordiamo Marino Ghetaldi, Albert Girard, René Descartes e Isaac Newton. L’analisi delle soluzioni da essi proposte ha guidato la formulazione di alcune osservazioni più specifiche in merito agli sviluppi precedentemente delineati. In particolare ci ha permesso di evidenziare l’evoluzione del complicato rapporto tra algebra e geometria e la progressiva integrazione di queste due discipline che ha permesso l’emergere della geometria analitica come campo di studi indipendente. Nella seconda parte di questo lavoro ci siamo concentrati sull’analisi di alcune fonti di carattere didattico all’interno delle quali veniva ripreso il problema del quadrato. Questi testi, la maggior parte dei quali si configuravano come raccolte di esercizi per l’educazione scolastica, ci hanno permesso di evidenziare l’utilità che questo problema ha avuto non solo nello sviluppo storico, ma anche nella pratica didattica. In particolare una prima analisi ci ha condotto ad osservare il legame tra le considerazioni di carattere storico precedentemente delineate e le motivazioni che hanno spinto gli autori all’utilizzo di questo problema all’interno del contesto scolastico, soffermandoci in particolare sulla dualità dei metodi di risoluzione presentati (algebrici e geometrici) e sull’importanza di proporre agli studenti problemi con risoluzioni non banali.